Đây là bài viết của anh Rias Gremory trên VMF!
Sau đây là bài viết:
Mình thấy gặp rất nhiều bài toán về giải phương trình vô tỷ ở diễn đàn đã được giải giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại $2$
Và câu hỏi là : Tại sao lại có cách đặt như vậy ?? Chẳng nhẽ là may mắn sao, hay là '' mò ra ta có '' . Câu trả lời là không !!
Đặt ẩn phụ thế nào , ra sao đều có nguyên nhân của nó !!
Ở phần này , mình sẽ lý giải về cách đặt đó !!
Đầu tiên , mình sẽ nói cách đạo hàm nhé . Cái này làm nháp nên bạn không cần hiểu sâu đạo hàm đâu .
$f(x)=ax^2+bx+c(*)$
$f'(x)=2ax+b(**)$
$g(x)=ax^3+bx^2+cx+d(***)$
$g'(x)=3ax^2+2bx+c(****)$
$g''(x)=6ax+2b(*****)$
Từ $(****)$ xuống $(*****)$ thì cũng giống như từ $(*)$ xuống $(**)$ . Các bạn không cần biết tại sao nó lại như vậy !! Chỉ cần nhớ công thức là được 
Những phần mình tô màu đỏ là làm ở Nháp nhé , không có trong bài làm !!
Dạng 1:
$\sqrt{ax+b}=\frac{1}{a}x^2+cx+d$ thõa mãn $b+ad=\frac{a^2c}{2}(1+\frac{c}{2})$
Cách giải :
Xét $f(x)=\frac{1}{a}x^2+cx+d$
$f'(x)=\frac{2}{a}+c'_1$
Ta cho $f'(x)=0 <=> x=\frac{-ac}{2}$ hay $x+\frac{ac}{2}$
(đoạn này cũng đừng hỏi tại sao nhé , nhớ là được )
Khi đó đặt $\sqrt{ax+b}=y+\frac{ac}{2}$
Ví dụ 1 : x2+4x=√x+6 (1)
ĐK : x≥−6
f(x)=x2+4x
f′(x)=2x+4
f′(x)=0⇔x=−2
Đặt √x+6=y+2(y≥−2) (2)
⇒(y+2)2=x+6
Từ (1) ta có : x2+4x=y+2⇔(x+2)2=y+6 (3)
Từ (2)(3) ta có hệ ĐX L2 : {(x+2)2=y+6(y+2)2=x+6
Việc còn lại khá đơn giản phải không ??
Dạng 2 : √ax+b=cx2+dx+e ( a≠0,c≠0,a≠1c )
Cách giải
f(x)=cx2+dx+e
f′(x)=2cx+d
Đặt √ax+b=2cy+d
Ví dụ 2 : x2−x−2013√1+16104x=2013 (1)
Đặt a=2013⇒16104=8a
PT(1) trở thành : x2−x−a√1+8ax=a (2)
f(x)=x2−x
f′(x)=2x−1
Đặt √1+8ax=2y−1 ( y≥12 )
⇒1+8ax=4y2−4y+1⇔y2−y=2ax (3)
PT(2) trở thành x2−x−a(2y−1)=a⇔x2−x=2ay (4)
Từ (3)(4) ta có hệ đỗi xứng loại 2 : {x2−x=2ayy2−y=2ax
Ví dụ 3 : Ví dụ này khó hơn 2 ví dụ trên !!
√3x+1=−4x2+13x−5 (1)
Nếu ta làm như cách trên :
f(x)=−4x2+13x
f′(x)=−8x+13
Các bạn tiếp tục làm nhé , nhưng chắc chắn sẽ không ra đâu !! vì bài này khó hơn mà . Khi gặp tình cảnh này , nếu '' máy móc '' thì bí thôi .
Nếu rơi vào trường hợp này , mình chia sẽ các bạn 1 cách tìm ra cách đặt bằng phương pháp : '' ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ ''
Ta chú ý một chút : Khi đặt √3x+1=ax+b⇔3x+1=a2x2+2abx+b2⇔a2x2+x(2ab−3)+(b2−1)=0 (2)
PT(1) trở thành : 4x2−13x+5+ax+b=0⇔4x2+x(a−13)+(b+5)=0 (3)
Để từ (2)(3) ta có hệ đối xứng loại 2 thì ta phải cân bằng hệ số một chút :
⎧⎪⎨⎪⎩a2=42ab−3=a−13b2−1=b+5
Giải cái này ta sẽ tìm được : {a=−2b=3
Như vậy ta sẽ đặt : √3x+1=−2y+3 ( y≤32 )
Việc còn lại các bạn tiếp tục nhé , thử xem nó có đưa về hệ đối xứng loại 2 không
Bài tập nhé : Các bạn thử dùng cách '' Đồng nhất hệ số '' này làm lại VD 1 và VD 2
Mở rộng lên bậc 3 nhé ( thử xem được không ) :
Dạng 3 : 3√ax+b=cx3+dx2+ex+f với a≠0,c≠0,a=1c ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )
f(x)=cx3+dx2+ex+f
f′(x)=3cx2+2dx+e
f′′(x)=6cx+2d
f′′(x)=0⇔x=−d3c
Đặt 3√ax+b=y+d3c
Dạng 4 : 3√ax+b=cx3+dx2+ex+f với a≠0,c≠0,a≠1c
f(x)=cx3+dx2+ex+f
f′(x)=3cx2+2dx+e
f′′(x)=6cx+2d
Đặt 3√ax+b=3cy+d
BÀI TẬP ÁP DỤNG :
1 , x2+1=√x−1
2 , x2−2=√2−x
3 , 16x2+10x+1=√2x+3
4 , 3x2+2x+3=√4x−5
5 , 3x2+2x+3=√9x−5
6 , 2x2+4=√x+32
7 , 3x2+x−296=√12x+6136
8 , x3+3x2+3x−1=3.3√3x+5
9 , 3√3x−638=x33−32x2+94x
10 , 3√81x−8=x3−2x2+43x3−2
P/s : Viết mỏi tay lắm rồi , các bạn nhớ LIKE và đánh giá 5 sao nhé !!
