Đề Thi IMO năm 2018 ngày thứ nhất
Đề thi viết bằng tiếng anh mình sưu tầm được trên mạng. Mọi người tham khảo.
Bản dịch Tiếng Việt (By Phạm Quốc Sang)
Bài 1:.Gọi $(T)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn
$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$
và
$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$
với mọi $i = 1, 2, \dots, n$
Bài 3: Tam giác anti-Pascal là một tam giác đều gồm các dãy số sao cho:
Ngoại trừ các chữ số ở hàng cuối cùng thì mỗi số là giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số gần nhất bên dưới nó.
Ví dụ sau đây là một tam giác anti-Pascal với 4 hàng chứa các số từ $1$ tới $10$:
Bản dịch Tiếng Việt (By Phạm Quốc Sang)
Bài 1:.Gọi $(T)$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $D$ và $E$ nằm trên các đoạn $AB$ và $AC$ tương ứng sao cho $AD=AE$. Đường trung trực của cạnh $BD$ và $CE$ lần lượt cắt cung nhỏ $AB$ và $AC$ tại $F$ và $G$. Chứng minh rằng $DE$ và $FG$ song song hoặc trùng nhau.
Bài 2: Tìm tất cả các số nguyên $n \geq 3$ sao cho tồn tại các số thực $a_1, a_2, \dots a_{n + 2}$ thoả mãn
$$a_{n + 1} = a_1, a_{n + 2} = a_2$$
và
$$a_ia_{i + 1} + 1 = a_{i + 2} \,\,(*),$$
với mọi $i = 1, 2, \dots, n$
Bài 3: Tam giác anti-Pascal là một tam giác đều gồm các dãy số sao cho:
Ngoại trừ các chữ số ở hàng cuối cùng thì mỗi số là giá trị tuyệt đối của hiệu 2 số gần nhất bên dưới nó.
Ví dụ sau đây là một tam giác anti-Pascal với 4 hàng chứa các số từ $1$ tới $10$:
$4$
$2$ $6$
$5$ $7$ $1$
$8$ $3$ $10$ $9$
Tồn tại hay không một tam giác anti-Pascal với $2018$ hàng, chứa mỗi số nguyên từ $1$ tới $1+2+…+2018$?
No comments:
Post a Comment