PHƯƠNG PHÁP: ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI $2$

Đây là bài viết của anh Rias Gremory trên VMF!

Sau đây là bài viết: 

Mình thấy gặp rất nhiều bài toán về giải phương trình vô tỷ ở diễn đàn đã được giải giải bằng cách đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại $2$ 

Và câu hỏi là : Tại sao lại có cách đặt như vậy ?? Chẳng nhẽ là may mắn sao, hay là '' mò ra ta có ''  . Câu trả lời là không !!

Đặt ẩn phụ thế nào , ra sao đều có nguyên nhân của nó !!

Ở phần này , mình sẽ lý giải về cách đặt đó !!

Đầu tiên , mình sẽ nói cách đạo hàm nhé . Cái này làm nháp nên bạn không cần hiểu sâu đạo hàm đâu .
$f(x)=ax^2+bx+c(*)$
$f'(x)=2ax+b(**)$
$g(x)=ax^3+bx^2+cx+d(***)$
$g'(x)=3ax^2+2bx+c(****)$
$g''(x)=6ax+2b(*****)$

Từ $(****)$ xuống $(*****)$ thì cũng giống như từ $(*)$ xuống $(**)$ . Các bạn không cần biết tại sao nó lại như vậy !! Chỉ cần nhớ công thức là được 

Những phần mình tô màu đỏ là làm ở Nháp nhé , không có trong bài làm !! 

Dạng 1:
$\sqrt{ax+b}=\frac{1}{a}x^2+cx+d$ thõa mãn $b+ad=\frac{a^2c}{2}(1+\frac{c}{2})$

Cách giải :
Xét $f(x)=\frac{1}{a}x^2+cx+d$
$f'(x)=\frac{2}{a}+c'_1$

Ta cho $f'(x)=0 <=> x=\frac{-ac}{2}$ hay $x+\frac{ac}{2}$

${\mathrm{(đoạn\; này\; cũng\; đừng\; hỏi\; tại\; sao\; nhé\; ,\; nhớ\; là\; được\; )}}^{}$

Khi đó đặt $\sqrt{ax+b}=y+\frac{ac}{2}$

Ví dụ $1$ : $x^2+4x=\sqrt{x+6}$ (1)

ĐK : $x\ge -6$

$f\left(x\right)=x^2+4x$

$f^{\prime }\left(x\right)=2x+4$

$f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=-2$

Đặt $\sqrt{x+6}=y+2(y\ge -2)$ (2)

$\Rightarrow (y+2{)}^2=x+6$

Từ (1) ta có : $x^2+4x=y+2\iff (x+2{)}^2=y+6$ (3)

Từ (2)(3) ta có hệ ĐX L$2$ : $\{\begin{array}{c}(x+2{)}^2=y+6\\ (y+2{)}^2=x+6\end{array}$

Việc còn lại khá đơn giản phải không ??

Dạng $2$ : $\sqrt{ax+b}=c{x}^2+dx+e$ ( $a\ne 0,c\ne 0,a\ne \frac{1}{c}$ )

Cách giải

$f\left(x\right)=c{x}^2+dx+e$

$f^{\prime }\left(x\right)=2cx+d$

Đặt $\sqrt{ax+b}=2cy+d$

Ví dụ $2$ : $x^2-x-2013\sqrt{1+16104x}=2013$ (1)

Đặt $a=2013\Rightarrow 16104=8a$

PT(1) trở thành : $x^2-x-a\sqrt{1+8ax}=a$ (2)

$f\left(x\right)=x^2-x$

$f^{\prime }\left(x\right)=2x-1$

Đặt $\sqrt{1+8ax}=2y-1$ ( $y\ge \frac{1}{2}$ )

$\Rightarrow 1+8ax=4y^2-4y+1\iff y^2-y=2ax$ (3)

PT(2) trở thành $x^2-x-a(2y-1)=a\iff x^2-x=2ay$ (4)

Từ (3)(4) ta có hệ đỗi xứng loại $2$ : $\{\begin{array}{c}{x}^2-x=2ay\\ y^2-y=2ax\end{array}$

Ví dụ $3$ : Ví dụ này khó hơn $2$ ví dụ trên !!

$\sqrt{3x+1}=-4x^2+13x-5$ (1)

Nếu ta làm như cách trên : 

$f\left(x\right)=-4x^2+13x$

$f^{\prime }\left(x\right)=-8x+13$

Các bạn tiếp tục làm nhé , nhưng chắc chắn sẽ không ra đâu !!  vì bài này khó hơn mà . Khi gặp tình cảnh này , nếu '' máy móc '' thì bí thôi . 

Nếu rơi vào trường hợp này , mình chia sẽ các bạn $1$ cách tìm ra cách đặt bằng phương pháp : '' ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ ''

Ta chú ý một chút : Khi đặt $\sqrt{3x+1}=ax+b\iff 3x+1=a^2{x}^2+2abx+b^2\iff a^2{x}^2+x(2ab-3)+(b^2-1)=0$ (2)

PT(1) trở thành : $4x^2-13x+5+ax+b=0\iff 4x^2+x(a-13)+(b+5)=0$ (3)

Để từ (2)(3) ta có hệ đối xứng loại $2$ thì ta phải cân bằng hệ số một chút : 

$\{\begin{array}{c}{a}^2=4\\ 2ab-3=a-13\\ b^2-1=b+5\end{array}$

Giải cái này ta sẽ tìm được : $\{\begin{array}{c}a=-2\\ b=3\end{array}$

Như vậy ta sẽ đặt : $\sqrt{3x+1}=-2y+3$ ( $y\le \frac{3}{2}$ )

Việc còn lại các bạn tiếp tục nhé , thử xem nó có đưa về hệ đối xứng loại $2$ không   

Bài tập nhé : Các bạn thử dùng cách '' Đồng nhất hệ số '' này làm lại VD $1$ và VD $2$ 

Mở rộng lên bậc $3$ nhé ( thử xem được không ) :

Dạng $3$ : $\sqrt[3]{3ax+b}=c{x}^3+d{x}^2+ex+f$ với $a\ne 0,c\ne 0,a=\frac{1}{c}$ ( các bạn nhớ chú ý điều kiện dạng này nhá , chứ không nên để lẫn lộn )

$f\left(x\right)=c{x}^3+d{x}^2+ex+f$

$f^{\prime }\left(x\right)=3c{x}^2+2dx+e$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6cx+2d$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=0\iff x=\frac{-d}{3c}$

Đặt $\sqrt[3]{3ax+b}=y+\frac{d}{3c}$

Dạng $4$ : $\sqrt[3]{3ax+b}=c{x}^3+d{x}^2+ex+f$ với $a\ne 0,c\ne 0,a\ne \frac{1}{c}$

$f\left(x\right)=c{x}^3+d{x}^2+ex+f$

$f^{\prime }\left(x\right)=3c{x}^2+2dx+e$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=6cx+2d$

Đặt $\sqrt[3]{3ax+b}=3cy+d$

BÀI TẬP ÁP DỤNG :

$1$ , $x^2+1=\sqrt{x-1}$

$2$ , $x^2-2=\sqrt{2-x}$

$3$ , $16x^2+10x+1=\sqrt{2x+3}$

$4$ , $3x^2+2x+3=\sqrt{4x-5}$

$5$ , $3x^2+2x+3=\sqrt{9x-5}$

$6$ , $2x^2+4=\sqrt{\frac{x+3}{2}}$

$7$ , $3x^2+x-\frac{29}{6}=\sqrt{\frac{12x+61}{36}}$

$8$ , $x^3+3x^2+3x-1=3.\sqrt[3]{33x+5}$

$9$ , $\sqrt[3]{33x-\frac{63}{8}}=\frac{x^3}{3}-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{9}{4}x$

$10$ , $\sqrt[3]{381x-8}=x^3-2x^2+\frac{4}{3}{x}^3-2$

P/s : Viết mỏi tay lắm rồi , các bạn nhớ LIKE và đánh giá $5$ sao nhé !!