ĐỀ THI OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC NĂM 2018

Nguồn: https://gapgotoanhoc.com/

LỚP 10

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên $(a,b)$ thoả mãn phương trình: 

$$(a+b)^4=6a^2+8ab+6b^2$$

Bài 2. Với $a,b,c$ là ba số thực không âm thoả mãn điều kiện $(a+1)(b+1)(c+1)=8$.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$$P=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$$

Bài 3. Trong một giải đấu bóng đá, các đội thi đấu vòng tròn một lượt với nhau. Kết thúc mỗi trận đấu, đội thắng sẽ được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, còn nếu hai đội hoà nhau thì mỗi đội được 1 điểm. Kết thúc giải đấu, có một đội giành được nhiều điểm nhất giải nhưng lại có số trận thắng ít nhất. Tìm số đội bóng tối thiểu có thể có của giải.

Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) có I là tâm đường tròn nội tiếp. Tia AI cắt (O) tại J khác A. Đường thẳng JO cắt (O) tại K khác J và cắt BC tại E. Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại S. Đường thẳng SA cắt (O) tại D khác A, đường thẳng DI cắt (O) tại M khác D.

Chứng minh JM đi qua trung điểm đoạn IE.

LỚP 11

Bài 1. Xét bảng vuông $nxn$ ô trong đó $n$ là bội số của $3$. Ta muốn tô màu một số ô sao cho trong mỗi bảng con $mxm$ với $m>1$, số ô được tô không lớn hơn số ô không được tô.

Hỏi có tối đa bao nhiêu ô được tô?

Bài 2. Cho $n,k$ là các số nguyên dương. Giả sử rằng tồn tại các bộ số nguyên $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ và $B=(b_1,b_2,...,b_n)$ không trùng nhau sao cho

$$\large a_1^{i}+a_2^{i}+.....+a_n^{i}=b_1^{i}+b_2^{i}+....+b_n^{i}$$

với mọi số nguyên dương i không vượt quá $k$.

a) Với $n=3,k=2$, hãy tìm một cặp $(A,B)$  thoả mãn điều kiện đề bài.
b) Chứng minh rằng $n \geq k+1$.

Bài 3. Các điểm X và Y tương ứng nằm trên các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại B,C sao cho $AB=BX$ và $AC=CY$ (các điểm $X,Y,A$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $BC$). Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng góc BAC + góc XIY = $180^0$

Bài 4. Cho A là tập hợp hữu hạn các số nguyên dương thoả mãn điều kiện: với mọi cặp hai phần tử phân biệt $x,y$ thuộc A thì ta có

$$|x-y| \geq \frac{xy}{31}$$

Hỏi A có nhiều nhất bao nhiêu phần tử?

LỚP 12

Bài 1. Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn điều kiện $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh rằng

$$3abc \geq 10(a^b+b^3+c^3-1)$$

Bài 2. Cho tam giác $ABC(AB<AC)$  không cân nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AC, AB lấy D, E sao cho tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn tâm (O'). Gọi F là giao điểm của BC, DE. M là hình chiếu của O' lên AF. G là giao điểm của BD, CE. Gọi I, J, K lần lượt là hình chiếu của M lên $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

a) Ba điểm I, J, K thẳng hàng và nằm trên đường thẳng d.
b) d chia đôi MG.

Bài 3. Cho A là tập hợp gồm $2n-1$ số thực dương phân biệt $(n\geq 2)$ có tổng bằng S. Chứng minh rằng có thể tìm được ít nhất $C_{2n-2}^{n-1}$ tập con n phần tử của A mà tổng các phần tử của mỗi tập con ấy không nhỏ hơn $\frac{S}{2}$.

Bài 4. 

a) Chứng minh rằng trong 6 số nguyên liên tiếp, khi lấy 5 số tùy ý thì tồn tại 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau.

b) Với mọi số nguyên dương $n \geq 2$, gọi $f(n)$ là số nhỏ nhất sao cho trong mọi tập con $f(n)$ phần tử của tập hợp gồm n số tự nhiên liên tiếp đều tìm được 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau. Tìm công thức xác định $f(n)$.